Test des tangentes

Il est parfois intéressant de savoir si le tracé des lignes horaires d'un cadran solaire est correct. Ou bien, on peut être amené à restaurer un cadran solaire dont il manque une ou deux lignes horaires. Le test des tangentes, imaginée par Robert Sagot (ancien président de la CCS à la SAF) et décrit à nouveau dans le livre de Denis Savoie ("La gnomonique", édition Les Belles Lettres, 2007), permet de résoudre de tels problèmes.

Sur deux exemples, je vais tenter de vous expliquer la méthode. Celle-ci peut être appliquée directement sur le mur portant le cadran, mais aussi à partir d'une photographie.

J'ai retracé au stylo sur la photographie ci-contre les lignes horaires (de 6 h à 14 h) de ce cadran solaire.
On choisit alors une ligne horaire quelconque que l'on nommera la ligne origine.
Cette ligne origine doit néanmoins être choisie de telle sorte que la ligne horaire correspondant à (ligne origine + 6 h) soit bien tracée sur le cadran.
Par exemple, j'ai choisi comme ligne origine la ligne horaire 8 h (voir photo), et l'on constate que la ligne horaire 14 h (8 h + 6 h) est bien tracée sur le mur. Par contre, je n'aurais pas pu prendre comme ligne origine les lignes horaires au delà de 8 h (par exemple 9 h, 10 h, ...). Mais d'un autre côté, j'aurais pu choisir également la ligne horaire de 6 h ou 7 h puisque les lignes horaires 12 h et 13 h sont bien tracées sur le cadran.

Une fois la ligne origine définie, on trace la parallèle à la ligne horaire correspondant à (ligne origine + 6 h). Sur ma photographie, j'ai donc tracé la parallèle à la ligne horaire 14 h, et je l'ai nommée 14'.
Cette parallèle coupe la ligne origine en un point O quelconque (voir photo). La distance CO peut être quelconque (le point C étant le centre du cadran, l'endroit où convergent toutes les lignes horaires), mais choisie de telle sorte que la parallèle coupe le maximum de lignes horaires sur la photographie.
J'ai noté I et I' les points situés respectivement à l'intersection de la parallèle et des lignes horaires (ligne origine + 1 h) et (ligne origine - 1 h). Pour mon exemple, le point I est situé sur la ligne horaire 9 h (puisque la ligne origine est 8 h) et le point I' est situé sur la ligne horaire 7 h.
Et ainsi de suite, j'ai noté J et J', les points situés sur les lignes horaires (ligne origine + 2 h) et (ligne origine - 2 h); K et K', les points situés sur les lignes horaires (ligne origine + 3 h) et (ligne origine - 3 h), etc.
Sur mon exemple, les points K', L' et M' ne sont pas placés puisque les lignes horaires correspondantes ne sont pas tracées sur le cadran solaire.

et le point N est rejeté à l'infini (tan(90°)).
R est une constante quelconque qui dépend de la distance CO que vous aurez fixée.
Lorsqu'on mesure la distance OK, on trouve la valeur de la constante R (en effet, tan(45°)=1).
Pour mon exemple, je mesure OK = R =  50 mm.
Voici le tableau des calculs et mesures des distances :

Aux erreurs de mesures près, on constate qu'il y a corrélation entre les calculs et les mesures.
On en déduit donc que ce cadran solaire a ses lignes horaires correctement tracées. Pour être tout à fait sûr, il est néanmoins conseillé de refaire ces opérations en prenant 2 ou 3 lignes origines distinctes.

L'exemple ci-dessous vérifie en deux endroits la justesse des tracés des lignes horaires de ce cadran solaire.

Je vous laisse vérifier l'exactitude du tracé, et n'hésitez pas à me contacter en cas de difficultés.

Dernière mise à jour : 17 juin 2008
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