Chapitre 4 - Cadrans solaires déclinants et inclinés

 1 - Système de coordonnées intermédiaires

On a vu au chapitre précédent que dans le système de coordonnées horizontales le plan de référence est le plan de l'horizon HH'. Dans le système de coordonnées équatoriales, le plan de référence est le plan contenant l'équateur céleste. L'axe zénith-nadir ZZ' est perpendiculaire au plan de l'horizon HH' et correspond à la verticale du lieu. L'axe des pôles célestes PP' est perpendiculaire au plan de l'équateur céleste. Le grand cercle PZHP'Z'H' est le méridien du lieu. (figure 1)

Supposons un plan intermédiaire aux deux précédents et dont la droite perpendiculaire SS' est telle que les points S et S' appartiennent au méridien. L'axe SS' est incliné d'un angle que l'on notera I par rapport à l'axe des pôles célestes PP'.

Dans le système de coordonnées horizontales, les deux coordonnées sphériques donnant la position d'un astre sont l'azimut a et la hauteur h . Dans le système de coordonnées équatoriales, les deux coordonnées sphériques sont l'angle horaire H et la déclinaison d.

Notons u et v les deux coordonnées sphériques dans notre système de coordonnées intermédiaires.

Nous allons établir les formules de passage entre le système de coordonnées équatoriales H et d, et notre système de coordonnées intermédiaires u et v.

 On passe du système de coordonnées équatoriales au système de coordonnées intermédiaires par une rotation autour de l'axe des abscisses x_H. Les coordonnées d'un point M dans le repère (O, x_H, y_H, z_H) s'écrivent en fonction des coordonnées (x_s, y_s, z_s) (figure 2) :

Equations (1)

Si on considère une sphère de rayon unitaire (r=1), alors les coordonnées du point M dans le repère (O, x_s, y_s, z_s) s'écrivent :

Equations (2)

D'autre part, dans le repère (O, x_H, y_H, z_H), les coordonnées du point M s'écrivent :

Equations(3)

En rapprochant les équations (2) et (3) avec (1), on peut écrire :

En faisant (b).sinI+(c).cosI , on obtient :

et en faisant (b).cosI-(c).sinI , on obtient :

On obtient donc le système suivant à trois équations :

Que l'on peut encore simplifier et ramener à un système à deux équations et deux inconnues u et v  en divisant (IV-1) par (IV-2) :

(IV-4) (IV-5)

Cas particuliers :

2 - Formules générales

Soit la sphère céleste PZP'Z' de centre C, qui sera aussi le centre de la table du cadran déclinant et incliné dont le grand cercle TOT' délimitera le plan en demi-disque. (figure 3)

HH' est le plan de l'horizon; PP' la ligne des pôles terrestres; ZZ' la verticale du lieu et SS' l'axe du style.

Le style CS' du cadran solaire situé sur l'axe SS' ne sera pas forcément polaire. Cet axe SS' fait un angle I avec l'axe des pôles terrestres PP'. L'angle I sera nommé inclinaison du style. Si I=0, le style sera polaire puisque l'axe SS' est confondu avec l'axe PP'. Si I=90°-j , le style sera vertical car l'axe SS' est alors confondu avec la verticale ZZ'.

Le demi-grand cercle ZTHZ' définit le méridien.

Soit CN la normale au plan de la table TT'; l'angle Z'CN sera l'inclinaison I de la table du cadran solaire.

Soit le plan vertical ZNZ' passant par CN; l'angle NZH sera la déclinaison d de la table du cadran solaire.

Ce plan ZNZ', possédant la normale CN à la table, coupera donc à angle droit la table en R.

Si l'ombre du style tombe en un point O du cadran, l'angle ZPO sera égal au complément à 180° de l'angle horaire H du Soleil. Soit CT' la ligne de midi vrai local sur le cadran.

L'ombre CO du style CS' sur la table CTOT' du cadran fait un angle OCT' avec la ligne de midi CT'. Cet angle OCT' sera noté h, il sera compté positivement dans le sens rétrograde (sens des aiguilles d'une montre).

L'angle h formé par les lignes horaires avec la ligne de midi correspond à l'arc T'O.

L'évaluation de cet angle h va être l'objet du calcul qui va suivre.

Sur le grand cercle T'OT, cet angle est égal à : h = 180° - (a + b )

où a est l'arc de cercle TR et b l'arc de cercle RO, comptés eux aussi positivement dans le sens rétrograde.

Considérons tout d'abord le triangle sphérique ZRT : (figure 4)

On vient donc de trouver une première relation nous donnant la valeur de l'angle a. Il nous reste maintenant à déterminer une relation nous donnant l'angle b.

Considérons maintenant le triangle sphérique OAR : (figure 5)

 Il nous reste donc à trouver des relations nous donnant .

Il nous faut donc trouver deux relations de trigonométrie sphérique telles que :

Nous allons considérer le triangle sphérique ZAS : (figure 6)

Les relations (IV-10) et (IV-11) nous serviront pour la relation (IV-7). Il nous reste à trouver pour la relation (IV-7) une expression pour .

Élevons au carré les deux relations (IV-10) et (IV-11) :

Alors :

 

Or

D'où :

Or :

Et :

D'où :

Comme :

Alors :

Donc :    relation (IV-12)

On prend la racine négative car lorsque d tend vers 0 alors :

On peut donc maintenant remplacer les relations (IV-10), (IV-11) et (IV-12) dans (IV-7), et on obtient :

Ou encore, après simplification par cosu :

Or on a vu que la relation (IV-4) nous donnait :

que l'on remplace dans la relation précédente, pour trouver la relation définitive (IV-13) :

On a établi que l'angle  h est tel que : h = 180° - (a + b ). Ou encore :

On devra donc calculer les deux angles a et b à l'aide des deux relations (IV-6) et (IV-13).

Remarquons qu'en dépit des apparences, ce calcul reste simple, car l'angle a ne se calculera qu'une fois pour toutes (puisqu'indépendant du temps), et pour l'angle b les termes contenant l'angle horaire H peuvent être ramenés à deux si on prend l'expression suivante où :

3 - Déduction des cas particuliers

Les formules correspondantes valables pour les cas particuliers se déduisent des précédentes par l'introduction des valeurs convenables des différentes variables.

On rappelle que l'angle h et l'angle horaire H sont comptés positivement dans le sens rétrograde : le matin l'angle H sera négatif, nul à midi et positif l'après-midi.

Cadrans à style polaire (I nulle)
Types cadrans	Déclinaison d de la table	Inclinaison i de la table	Relation sur h
Cadrans non déclinants (d nulle) d'où :
Cadran horizontal	0°	0°
Cadran vertical méridional	0°	+ 90°
Cadran vertical septentrional	0°	- 90°
Cadran équatorial	0°	- 90° + j
Cadran polaire	0°	+ j
Cadran incliné méridional	0°	quelconque
Cadrans déclinants (d non nulle)
Vertical oriental	- 90°	+ 90°
Vertical occidental	+ 90°	+ 90°
Vertical déclinant	quelconque	+ 90°
Vertical déclinant incliné	quelconque	quelconque

On remarque que pour les cadrans polaire, vertical oriental et vertical occidental, l'angle h ne dépend pas de l'angle horaire H. Le centre du cadran se retrouve repoussé à l'infini : les lignes horaires seront donc des lignes parallèles à la ligne de midi.

Cadrans à style non polaire (I non nulle) avec
Types cadrans	Inclinaison I du style	Déclinaison d  de la table	Inclinaison i  de la table	Relation sur h
Cadrans non déclinants (d nulle) d'où :
Cadran tropical	- (90° + j)	0°	0°
Cadran Herstmonceux	- (90° + j)	0°	90° - j
Cadran pyrénéen	- j	0°	+ 90°

II - Heures extrêmes

Deux conditions nécessaires doivent être requises pour qu'il y ait éclairement de la table du cadran :

On appellera heures extrêmes les heures limites d'éclairement de la table du cadran solaire.

1 - Soleil par rapport à l'horizon

Le Soleil est au-dessus de l'horizon si la hauteur h du Soleil est positive. On a établi que celle-ci était reliée à l'angle horaire H par la relation de transformation (III-6) :

où d est la déclinaison du Soleil et j la latitude du lieu.

Lorsque le Soleil est au-dessus de l'horizon, sa hauteur h est positive et comprise entre 0° et 180°; par conséquent sinh doit être aussi positif.

Alors :

Soit :

Donc :

(IV-14)

L'heure extrême sur un cadran solaire, quelle que soit son inclinaison i, ne sera jamais inférieure à celle du lever du Soleil ou supérieure à celle de son coucher au jour de l'année où l'ensoleillement sera le plus long, c'est à dire au moment du solstice d'été. Ce jour là, la déclinaison d du Soleil est maximale et vaut :

Donc l'angle horaire H correspondant au lever et au coucher du Soleil sera tel que :

(IV-15)

L'heure vraie locale de lever du Soleil sera :

L'heure vraie locale de coucher du Soleil sera :

Par exemple, pour une latitude j de 45°, on a :

Sous une latitude de 45°, le Soleil se lève donc au plus tôt dans l'année à 4 h 17 min et se couche au plus tard à 19 h 43 min.

On peut même en déduire la durée maximale d'ensoleillement le jour du solstice d'été sous la latitude donnée :

Pour l'exemple donné ci-dessus :

La condition (IV-15) sur l'angle horaire H est valable si cosH reste inférieur ou égal à 1. Cela entraîne comme condition supplémentaire :

Donc si la latitude est supérieure ou égale à 66,56°, alors nous sommes situés au-delà des cercles polaires, et au moment du solstice d'été, le Soleil ne se couche jamais, alors on aura : h_lev = 0 h et h_cou = 24 h.

Donc en résumé, les heures extrêmes de lever et coucher du Soleil sont : (voir abaque pour détails)

		(IV-16)

Donc pour tracer les lignes horaires d'un cadran solaire, il est inutile de prendre celles dont l'heure est inférieure à h_lev ou supérieure à h_cou. Par contre, cette condition n'est pas suffisante pour qu'il y ait éclairement de la table. En effet, pour les cadrans dont l'inclinaison i est non nulle, le soleil peut être au-dessus de l'horizon, mais situé encore derrière la table du cadran. Il nous faut donc considérer maintenant cette condition.

2 - Soleil par rapport à la table du cadran

Nous n'envisagerons dans ce paragraphe que le cas des cadrans dont la table est plane et que son inclinaison i est non nulle

Considérons la sphère locale comme représentée sur la figure suivante.

Les coordonnées horizontales locales du Soleil sont son azimut a et sa hauteur h. L'angle SOC étant supérieur à l'angle SOA, le Soleil sera sans doute derrière le cadran. Il nous faut calculer l'angle BC pour le savoir.

Considérons le morceau de la sphère céleste de centre O et délimité par le triangle sphérique ABC rectangle en C

 On sait d'après (III-4) que pour ce triangle sphérique droit, on a : où h_t est l'angle BC

 Calculons l'angle AC

 Le Soleil est derrière la table si a est supérieure à 90°+d.

Alors . Donc :

Le problème étant symétrique, en résumé on a :

• : le Soleil est d'une façon certaine devant la table.
• : le Soleil est peut-être devant la table.

Le Soleil passe au-dessus de la table du cadran lorsque : h = ht

Or

 Et :

D'aprés les équations (III-6), on peut écrire :

Alors lorsque h = h_t, ou bien tan h = tan h_t, on a

Or toujours d'aprés les relations (III-6) :

Aprés quelques simplifications, on obtient une relation du type :

où A, B et C sont des variables fonctions uniquement de la latitude du lieu, de la déclinaison du Soleil, de l'inclinaison et de la déclinaison de la table du cadran, et tels que :

L'équation (IV-17) admet deux racines H1 et H2 de la forme :

Ces deux racines sont les angles horaires correspondant au passage du Soleil devant la table du cadran.

3 - Heures extrêmes

Pour une latitude d'un lieu donné et pour un cadran solaire donné dont la déclinaison et l'inclinaison sont connues, les relations (IV-14) et (IV-17) sont fonction de l'angle horaire H, mais aussi de la déclinaison d du Soleil au cours de l'année.

Si nous tracions les variations de H en fonction de d , nous aurions quatre courbes :

Il nous faut donc déterminer les coordonnées H_e et d_e des points d'intersection des ces courbes 2 à 2.

Les équations des courbes sont :

En substituant (IV-14) dans (IV-17), on a :

En remplaçant les valeurs A, B, C et D par leurs expressions et aprés simplification, on obtient :

où H_e dépend de la déclinaison qui est variable au cours de l'année.

Mais comme , alors :

Aprés remplacement, on a :

Donc :

(IV-18)

Donc l'angle horaire extrême H_e correspondant au passage du Soleil devant la table du cadran solaire ne dépend que de la déclinaison de la table et de la latitude du lieu.

On en déduit la déclinaison "extrême" d_e du Soleil correspondant à l'angle horaire "extrême" H_e.

L'expression (IV-14) nous donne :

Or

D'où :

Donc :

(IV-19)

Dernière mise à jour : 7 décembre 2006
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