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Chapitre 3 - Les systèmes de coordonnées

1 - Petit cercle – Grand cercle

2 - Groupe de Gauss

Les angles a, b, c ainsi que sont tels que :

   et    

enfin  les normes des vecteurs sont telles que :

Rappel sur les produits scalaires :

                Soient deux vecteurs , alors la produit scalaire est :

Calculons le produit scalaire de

or

comme est perpendiculaire à alors

comme est perpendiculaire à alors

d'où on obtient :

            Or 

                        comme les points O, B' et C' sont alignés alors

                        De plus :

                        D'où :

                        Alors :

            Ensuite avec

                        De plus :

                        D'où :

                        Alors :

Donc on obtient :

Par permutation circulaire de la relation précédente, on obtient les formules de trigonométrie sphérique suivantes (III-1) :

On sait que :

D'où :

Comme : , alors :

Soit :

Comme : , d'où après division par le terme sin²a, on obtient :

Soit :

Par permutation circulaire de , le deuxième membre de l'égalité est invariant, donc :

On obtient donc le deuxième groupe de formules de trigonométrie sphérique (III-2) :

On a vu que :

                et :

On peut alors écrire que :

Soit :

En multipliant par sinc les deux membres de l'égalité, on trouve :

soit :

Comme : , et après simplification par sin²c, on trouve :    

ou encore :

Prés division par cosc, on a :

            On on a établi plus haut que :

            que l'on peut écrire sous la forme :

Alors on obtient :

Prés développement et simplification, on a :

Par permutation circulaire de , on obtient le troisième groupe de formules de trigonométrie sphérique (III-3) :

L'ensemble des formules de trigonométrie sphérique que l'on vient d'établir constitue le groupe de Gauss.

Cas particulier : si l'un des angles du triangle sphérique ABC est droit, par exemple si , alors :

            - la relation (III-1) nous donne :

            - la relation (III-2) nous donne :

            - la relation (III-3) nous donne :

Alors on obtient :

Donc après simplification par cosc, on a la relation suivante (III-4) :

II - Coordonnées astronomiques

 1 - Sphère locale - Sphère céleste

Les coordonnées astronomiques sont groupées dans les quatre systèmes suivants :

 Ces systèmes se différencient entre eux par la direction, considérée comme fondamentale, et par le plan diamétral normal à celle-ci.

 On définit la sphère locale comme étant une sphère rattachée à la Terre, de très grand rayon, de centre O correspondant à l'observateur terrestre, et dont le plan diamétral est le plan horizontal du lieu d'observation.

Sur cette sphère locale, par suite du mouvement de rotation de la Terre, les astres ont un mouvement apparent et ne sont pas fixes au cours de la journée. On suppose alors l'existence d'une sphère céleste sur laquelle sont fixés les astres, et qui tourne en glissant autour de l'axe des pôles sur la sphère locale.

 On considère que tous les objets célestes se trouvent donc sur une sphère unique, de très grand rayon, dont on peut faire coïncider le centre, selon les cas, avec l'observateur, le centre de la Terre ou le centre du Soleil.

2 - Système de coordonnées horizontales locales

 Dans ce système de coordonnées, appelé aussi altazimutales, le plan de référence est le plan de l'horizon, c'est à dire le plan passant par l'observateur et perpendiculaire à la verticale du lieu d'observation.

Les éléments de ce système sont :

Un cercle particulier est le méridien : il se trouve dans le plan passant par la verticale de l'observateur et par le pôle céleste P visible. Le plan vertical normal au méridien est appelé premier vertical. Tout petit cercle parallèle à l'horizon est appelé cercle de hauteur ou almicantarat. (figure 3)

Les deux coordonnées sphériques, dans ce système, définissant la position d'un objet céleste sont :

 On définit aussi un autre angle, dérivé de la hauteur h, que l'on appelle la distance zénithale notée z, et tel que : z = 90° - h.
C'est donc l'angle compris entre la verticale du lieu et la droite joignant le centre de la sphère à l'astre examiné. (figure 4)

Le système horizontal présente l'inconvénient que les deux coordonnées varient (de façon non uniforme) :

 3 - Système de coordonnées équatoriales locales

 L'axe des pôles terrestres constitue une direction privilégiée. Cet axe coupe la sphère céleste en deux points diamétralement opposés, appelés pôles célestes : P pôle Nord (ou boréal) et P' pôle Sud (ou austral).

 Cet axe des pôles PP' est incliné d'un angle de 90° - j par rapport à la verticale OZ du lieu d'observation (j désignant la latitude du lieu d'observation).

Le plan fondamental de référence est le plan contenant l'équateur céleste.

L'équateur céleste est le cercle équidistant des pôles célestes. C'est le grand cercle suivant lequel le plan parallèle à l'équateur terrestre et passant par le centre de la sphère céleste, coupe la sphère céleste.

L'équateur terrestre est le grand cercle équidistant du pôle Nord et du pôle Sud; son plan est normal à l'axe de rotation terrestre.

Les demi-grands cercles dont les extrémités sont les pôles célestes P et P', sont appelés les cercles horaires. Le nom de méridien étant exclusivement réservé au demi-grand cercle contenant à la fois les pôles célestes P et P' et le zénith du lieu d'observation. (figure 5)

Les deux coordonnées sphériques, dans ce système, définissant la position d'un objet céleste sont : (figure 6)

4 - Formules de passage du système de coordonnées azimutales au système de coordonnées horaires

 On passe du système de coordonnées azimutales au système de coordonnées horaires par une rotation autour de l'axe des abscisses x_a (on rappelle que l'axe x_a appartient au plan de l'horizon et est dirigé vers l'Ouest (figure 4). Les coordonnées d'un point M dans le repère (O, x_H, y_H, z_H) s'écrivent en fonction des coordonnées (x_a, y_a, z_a) (figure 7) :

Comme , d'où :

Si on considère une sphère de rayon unitaire (r=1), alors les coordonnées du point M dans le repère (O, x_a, y_a, z_a) s'écrivent :

D'autre part, dans le repère (O, x_H, y_H, z_H), les coordonnées du point M s'écrivent :

On obtient donc les formules de transformation suivantes : (III-5)

Pour trouver la transformation inverse, on fera :

On obtient donc les formules de transformation inverse suivantes : (III-6)

L'inconvénient de ce système de coordonnées horaires est que la position de l'étoile varie au cours du temps en fonction de la rotation de la Terre : l'étoile semble décrire un arc de petit cercle parallèle à l'équateur céleste.

5 - Système de coordonnées équatoriales célestes

Ce système permet de s'affranchir du mouvement apparent diurne (variations de l'angle horaire H).

Le plan fondamental est, comme dans le système précédent, le plan contenant l'équateur céleste.

On définit sur l'équateur céleste un point fictif nommé point vernal noté g et qui correspond au lieu sur la sphère céleste où se trouve le Soleil à l'équinoxe de printemps (ou vernal).

Les deux coordonnées sphériques dans ce système définissant la position d'un objet céleste sont : (figure 8)

Relation entre le système de coordonnées horaires et le système de coordonnées équatoriales :

On note T l'angle horaire du point vernal g. T est aussi appelé temps sidéral local.

On a la relation suivante : (III-7)

6 - Système de coordonnées écliptiques

On prend comme plan fondamental pour ce système de coordonnées, le plan de l'écliptique, défini comme étant le plan dans lequel se déplace le centre de gravité du système Terre-Lune, pendant sa révolution autour du Soleil.

L'intersection de ce plan avec la sphère céleste définit le cercle écliptique ou écliptique.

La droite perpendiculaire au plan de l'écliptique passant par le centre de la sphère céleste coupe celle-ci en deux points Q et Q' diamétralement opposés, et que l'on nomme les pôles de l'écliptique. Les grands cercles qui passent par les pôles de l'écliptique sont appelés cercles de longitude.

Le plan de l'écliptique et le plan de l'équateur céleste font entre eux un angle e qui représente l'obliquité de l'écliptique. En raison de la précession des équinoxes, l'obliquité moyenne décroît très lentement au cours du temps selon l'expression :

Où t représente le temps compté en siècles d'années tropiques à partir de J2000 selon l'expression

et JJ : jour julien

Actuellement (JJ = 2452641,0 au 1er janvier 2003), la valeur moyenne de l'obliquité de l'écliptique est d'environ : e =23,44°

Les points où l'écliptique rencontre l'équateur céleste sont dits points équinoxiaux, ou équinoxes, ou encore noeuds. Ils correspondent : (figure 9)

Les deux coordonnées sphériques dans ce système définissant la position d'un objet céleste sont : (figure 10)

7 - Formules de passage du système de coordonnées équatoriales au système de coordonnées écliptiques

 Le passage d'un système à l'autre se fait par une rotation autour de l'axe x_eq d'un angle . (figure 11) :

Si on considère une sphère de rayon unitaire (r=1), alors les coordonnées du point M dans le repère (O, x_ec, y_ec, z_ec) s'écrivent :

D'autre part, dans le repère (O, x_eq, y_eq, z_eq), les coordonnées du point M s'écrivent :

On obtient donc les formules de transformation suivantes : (III-8)

Pour la transformation inverse, on procède comme au paragraphe 4 de ce chapitre, et on obtient : (III-9)

8 - Système de coordonnées galactiques

Ce système ne présente aucun intérêt pour l'étude des cadrans solaires, mais il est bon d'en dire quelques mots.

Ce système est particulièrement employé pour l'étude de la Galaxie. Il prend comme plan fondamental le plan de l'équateur galactique, défini conventionnellement par le grand cercle passant par le point de coordonnées équatoriales (a =18 h 40 min et d = 0°) et incliné de 62° sur l'équateur céleste. Ce grand cercle correspond à peu prés au plan médian de la Voie Lactée. Les deux pôles galactiques sont situés symétriquement à 90° de ce plan. Les coordonnées du pôle Nord galactique, dans le système équatorial, sont :  a = 12 h 49 min = 190° et  d = 28° (pour l'équinoxe de 1900).

La position d'un astre en coordonnées galactiques est donnée par la longitude galactique notée l_I et la latitude galactique notée b_I. On compte la latitude de 0° à 90°, entre l'équateur galactique et les pôles; quant à la longitude, elle varie entre 0° et 360° dans le sens inverse des aiguilles d'une montre, à partir du noeud ascendant de l'équateur céleste.

9 - Tableau synthétique des systèmes de repérage

Dernière mise à jour :18 novembre 2006                
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